Panoskoon määrittäminen - peukalosääntöjä Kelly kriteerin käyttöön

Kuten on hyvin tunnettua, optimaalinen panoskoko (joka maksimoi pelikassan kasvunopeuden) määräytyy Kellyn kriteerin perusteella. Kyseisen säännön esitti alunperin J.L. Kelly, ja kriteeriä on hyödynnetty hyvin monenlaisiin erilaisiin tarpeisiin. Yhteenveto ja linkkejä Kelly kriteeriin löytyy muun muassa referenssistä [1].

Kelly-kriteerin tuottama peliosuus pelikassasta on f = (b*p - q)/b
missä
b = (kerroin - 1) = (k - 1)
p = voittotodennäköisyys
q = häviön todennäköisyys = (1-p)
Mikäli vedon "etu" (b*p-q) on negatiivinen (eli käytännössä tarjottu kerroin on pienempi kuin estimoimasi voittotodennäköisyyden implokoima kerroin), Kelly-kriteeri kehoittaa olemaan panostamasta kyseiseen vetoon.

Perusongelma Kelly-kriteerin käytössä on että panoskokojen laskeminen vaatii jonkin verran laskentaa ja tämän johdosta sopivia työkaluja. Alla on esitetty joukko peukalosääntöjä, joilla Kelly kriteerin ehdottaman panoskoon voi estimoida riittävällä tarkkuudella nopeasti ja vaivattomasti.

Tulosten tulkinta: Kelly-kriteerin antama tulos kertoo mikä osuus pelikassasta kyseiseen peliin pitäisi uhrata. Moni kirjoittaja on esittänyt "fractional-Kelly" ratkaisuja, jossa kriteerin tarjoama prosenttiosuus jaetaan jollain vakiolla (kuten 2, 4, tms). Nämä kumpikin ovat toimivia ratkaisuja. Kelly-kriteerin avulla voi myös suhteuttaa eri pelityyppien panostukset toisiinsa niin että niiden riski/tuottosuhteet on suhteutettu oikein.

Peukalosäännöt:
- Maksimipeliosuus: kun estimoimasi voittotodennäköisyys on p, Kelly-kriteerin tarjoama peliosuus pelikassasta on maksimissaan p
- Kelly-kriteerin tarjoama peliosuus tästä maksimipeliosuudesta on
s = (k - 1/p) / (k - 1)

Esimerkki 1:
- oma estimoitu voittotodennäköisyys 20 %, vastaten kerrointa 5.
- tarjottu kerroin 9
=> maksimipeliosuus 20 %
=> s = (9-5)/(9-1) = 4/8=1/2
=> Kelly-kriteerin tarjoama peliosuus on siis 1/2 * 20 % = 10 %.

Esimerkki 2:
- oma estimoitu voittotodennäköisyys 10 %, vastaten kerrointa 10.
- tarjottu kerroin 15
=> maksimipeliosuus 10 %
=> s=(15-10)(15-1)=5/14
=> Kelly-kriteerin tarjoama peliosuus on siis 5/14 * 10 % = 3.6 %.

- Peukalosäännön voi laskea myös toisin päin, eli kiinnittää osuuden maksimipeliosuudesta, ja laskea millä kertoimella se saavutetaan ->
k = 1/(1-s) * 1/p - s/(1-s)

Esimerkki 3:
- oma estimoitu voittotodennäköisyys on 40 %, vastaten kerrointa 2.5
- millä kertoimeilla Kelly-kriteerin tarjoama peliosuus on puolet maksimipeliosuudesta (tässä tapauksessa 40 %)?
=> 0 = 1/(1-0.5) * 2.5 - 0.5/(1-0.5) = 2*2.5 - 1 = 4 (eli kertoimella 4 Kelly-kriteerin tarjoama peliosuus on 0.5 * 40 % = 20 %)

Referenssit
[1] http://www.wikipedia.org/Kelly_criterion